在区间上,有(3x^2+a)(2x+b)≥0。”
“接着再画图f'(x)=3x^2+a,是一个顶点为(0,a)的,开口向上的抛物线。”
“同样画g'(x)=2x+b,是一条直线。”
“因为题目没有给a和b哪个大,题目就稍微复杂了一些。”
“可以分两种情况,先假设b大于a,所以区间就是(a,b),根据图像,我们可以知道直线与x轴的交点是(-b/2,0),若b大于0的话,所以就有b大于-b/2,那在区间(-b/2,0)上,g'(x)大于0,而f'(x)小于0,所以b不能大于0。”
“当b不大于0时,交点(-b/2,0)在y轴右边,或者y轴上(b=0),那么就有g'(x)在区间(a,b)上恒小于等于0,那么则表明f'(x)在(a,b)上也是恒小于等于0,通过图像可以发现,当x小于-√-a/3时,f'(x)大于0,所以就有a要大于等于-√-a/3,解得a大于等于-1/3.所以有a的范围是【-1/3,0),b的范围是(a,0】,所以就有|a-b|的最大值为1/3。”
“当b小于a时,那就直接有b小于0了,做图和上面一样,解得a大于等于-1/3,b大于等于-√-a/3,结果就解不下去了。”
张越忍不住追问了一句:“为什么当x小于-√-a/3时,f'(x)大于0,所以就有a要大于等于-√-a/3?”
秦无道解释:“先说第二个,由于g'(x)=2x+b与x轴的交点是(-b/2,0),由图像可知,当x大于-b/2时,g'(x)大于0,接着设b大于0,那就有-b/2小于0且小于b,那表示在(-b/2,0)的区间上,g'(x)大于0,而由图像可知,在(-√-a/3,0)的区间上,f'(x)小于0,那表明不论a和b是什么关系,在小于0上必然有一个区间,有g'(x)大于0,而f'(x)小于0,所以b必定不能大于0.就有b小于等于0,至于b为什么大于a,那是我设的,刚开始我直接就设b大于a。所以才有区间为(a,b)。”
“第一个,由于上面已经证明b小于等于0,那表明,-b/2大于等于b,结合图像就可以看出,在(a,b)这个区间上,g'(x)恒小于等于0,那么就必须有在(a,b),f'(x)也恒小于等于0,所以a就必须大于等于-√-a/3,因为只要a小于-√-a/3,那表明在区间(a,b)上,可以取到x值,使f'(x)大于0。”
“因为题目里没有给出a和b的大小,所以当b小于a时,不能求得具体的
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